Kaynak: 1997 IMO Shortlist belgesi — 38th International Mathematical Olympiad, July 1997, Mar del Plata / Arjantin, "Guidelines for Marking" bölümü.
Aşağıda, 1997 Uluslararası Matematik Olimpiyatı'nda jürinin kâğıtları okurken kullandığı resmî puanlama ölçütlerinin Türkçe çevirisi yer alıyor. Metin, 1997 IMO Shortlist belgesinin sonuna eklenmiş olan orijinal koordinasyon notlarından aktarılmıştır.
Her problem 7 puan üzerinden değerlendirilir, iki günün toplamı 42 puandır. Aşağıdaki maddeler, tam çözüme giden yolun hangi ara duraklarının kaç puan ettiğini gösterir.
Belgede 2. soru için ayrı bir puanlama ölçütü bulunmuyor. Bu nedenle aşağıda 2. soru yer almıyor.
SORU 1
1. (a) şıkkı ispatlanmıştır, yani aynı pariteye sahip tüm $m,n$ için $f(m,n)$ hesaplanmıştır — 1 puan
Not: Bu bir puana yalnızca hem "her ikisi de tek" hem de "her ikisi de çift" durumu yapılmışsa hak kazanılır.
2. (b) şıkkı ispatlanmıştır: $f(m,n) \le \frac{1}{2}\max\{m,n\}$ — +3 puan
3. (c) şıkkı ispatlanmıştır — +3 puan
Aşağıdaki kazanımlar bir miktar puan almaya hak kazandırabilir:
4. $m$ ve $n$ cinsinden lineer başka bir üst sınır bulunması;
5. $m$ tek, $n$ çift ve $d$ bunların en büyük ortak böleni iken $f(m,n) = f(m/d,\, n/d)$ eşitliğinin veya buna denk bir ifadenin ispatlanması.
AI Notu: Puanın $1+3+3$ biçiminde dağıtılması tesadüf değildir. (a) şıkkı esasen bir hesaptan ibarettir ve bu yüzden tek puan eder; asıl matematiksel fikir (b) ve (c) şıklarında saklıdır ve bu iki şık birbirine eşit ağırlıkta tutulmuştur. Paritenin yalnızca bir yarısını, örneğin sadece "ikisi de tek" durumunu yapan bir öğrencinin hiç puan alamaması, jürinin vaka analizinin bir bütün olarak tamamlanmasını beklediğini gösterir. Son iki maddeye puan yazılmamış olması ise bilinçli bir tercihtir: bu tür kısmi kazanımların değeri, sınav sırasında gelen gerçek kâğıtlar görüldükten sonra koordinatörlerce belirlenir.
SORU 3
1. $S(\pi_1) < -\frac{n+1}{2}$ ve $S(\pi_2) > \frac{n+1}{2}$ olacak biçimde $\pi_1$ ve $\pi_2$ permütasyonlarının var olduğu olgusunun (veya buna denk bir ifadenin) eksiksiz biçimde ifade edilmesi ve doğru hesaplanması — 3 puan
Yalnızca hesabın yapılması — en fazla 1 puan
2. Komşu elemanların yer değiştirmesi yoluyla herhangi bir permütasyondan bir diğerine ulaşılabileceği ve bu yer değiştirmelerin doğurduğu farkın en fazla $n+1$ olduğu olgusunun (veya buna denk bir ifadenin) eksiksiz biçimde ifade edilmesi ve doğru hesaplanması — 3 puan
Yalnızca hesabın yapılması — en fazla 1 puan
3. Yukarıdaki iki adımın istenen sonucu verdiğinin açıkça gösterilmesi — 1 puan
Ek açıklamalar:
1. Doğru çözümün, tüm $x_i$ sayılarının aynı işaretli olduğu özel durumu için 1 puan verilir.
2. Başarısız her tümevarım denemesi — 0 puan
3. Kısmi durumlar ($n=1$, $n=2$ ve benzeri) — 0 puan
4. $x_1 = x_2 = \dots = x_n$ trivial durumu — 0 puan
5. Burada anılmayan benzer her durum — 0 puan
Kısmi sonuçlar toplanarak verilmemelidir.
AI Notu: Bu ölçüt, IMO puanlamasının belki de en öğretici maddesini içeriyor: bir olguyu doğru hesaplamak tek başına en fazla 1 puan ederken, aynı olguyu eksiksiz biçimde ifade edip hesaplamak 3 puan ediyor. Yani ne yaptığını ve neden yaptığını yazamayan bir öğrenci, hesabı doğru yapmış olsa bile puanın üçte ikisini kaybediyor. Sıfır puanlık maddelerin tek tek sayılmış olması da dikkat çekicidir; başarısız bir tümevarım denemesi, küçük $n$ değerlerinin sınanması veya trivial durumun çözülmesi "doğru yolda görünmek" anlamına gelse bile hiçbir karşılık görmüyor. En sondaki cümle ise şu anlama gelir: birbirinden bağımsız küçük ilerlemeler yan yana konularak bir puan yığını oluşturulamaz.
SORU 4
(a) şıkkı: tam çözüm — 3 puan
1. Yazarın çözümü için: matrisin köşegen dışındaki herhangi bir elemanının tam olarak iki haç tarafından örtüldüğünün fark edilmesi — 1 puan
2. Alternatif çözüm için (CAN 7):
• Tüm haçlardaki girdilerin toplamını matrisin izi ile ilişkilendiren bir formül — 1 puan
• Köşegen girdisi bulunmayan bir çift sayının var olduğu durum — 1 puan
• Her çift sayının bir köşegen girdisi bulunduğu durum — 1 puan
(b) şıkkı: tam çözüm — 4 puan
1. Bazı özel $n > 2$ değerleri için $n \times n$ gümüş matris örnekleri — 1 puan
2. İki köşegen bloğu doğru kurulmuş ikiye katlama inşası — 2 puan
Notlar:
• (b) şıkkının 1. ve 2. kuralları aynı anda uygulanamaz.
• Çizelgeleme kuramı veya çizge kuramı teoremlerini kullanan çözümler, problemi çizelgeler ya da çizgelerle ilgili uygun teoreme doğru biçimde indirgiyorsa ve söz konusu teoremin doğru ifadesi verilmişse tam kabul edilir.
AI Notu: Bu ölçütün iki ayırt edici özelliği var. Birincisi, jürinin yazarın çözümü ile bir başka ülkeden gelen alternatif çözüm (CAN 7, yani Kanada'nın 7 numaralı önerisi) için iki ayrı cetvel hazırlamış olmasıdır; öğrenci resmî çözümü bulmak zorunda değildir, kendi yolunun karşılığı ayrıca tanımlanmıştır. İkincisi, "1. ve 2. kurallar aynı anda uygulanamaz" maddesiyle çifte ödemenin önüne geçilmesidir: hem birkaç örnek vermek hem de genel inşayı kurmak, aynı ilerlemenin iki kez puanlanması anlamına gelmez. Son madde de önemli bir ilkeyi kayda geçirir: bilinen bir teoremi kullanmak ceza gerektirmez, ancak öğrenci hem indirgemeyi doğru yapmak hem de kullandığı teoremi doğru ifade etmek zorundadır.
SORU 5
1. $(16,2)$ ve $(27,3)$ çözümlerinin verilmesi — +1 puan
2. Aşağıdakilerden herhangi birinin veya hepsinin çözülmesi — +2 puan
(a) $a < b$
(b) $a < b^2$
(c) $a < 2b^2$
3. Aşağıdakilerden herhangi birinin veya hepsinin çözülmesi — +3 puan
(d) $a > b$
(e) $a > b^2$
(f) $a > 2b^2$
4. (d), (e) veya (f) durumu için $b \mid a$ olduğunun ispatlanması (3. madde ile birlikte uygulanmaz) — +1 puan
5. (d), (e) veya (f) durumu için $b^2 \mid a$ olduğunun ispatlanması (3. madde ile birlikte uygulanmaz) — +1 puan
AI Notu: Buradaki asimetri, problemin gerçek zorluk dağılımını ele veriyor: $a < b$ tarafını halletmek 2 puan ederken $a > b$ tarafı 3 puan ediyor, çünkü asıl güçlük büyük tarafta saklı. İki çözümü bulup yazmanın yalnızca 1 puan etmesi, "cevabı bilmek ispat değildir" ilkesinin nazik bir ifadesidir; yine de sıfır değildir, çünkü doğru cevabı görmek de bir ilerlemedir. 4. ve 5. maddelerdeki bölünebilirlik sonuçları ise ancak 3. madde kazanılamamışsa işe yarar; büyük tarafı zaten tam çözmüş bir öğrenci, o çözümün içinde kullandığı ara adım için ayrıca puan alamaz.
SORU 6
Alt tahmin
1) Pozitif ve $\lambda < \frac{1}{4}$ olan bir $\lambda$ için $f(2^n) > 2^{\lambda n^2}$ biçiminde bir tahminin ispatlanması — 2 puan
2) $f(2^{n+i}) > 2^{an+j} f(2^n)$ tipinde bir rekürans formülünün ispatlanması — 2 puan (bu formülün, basit bir iterasyon argümanı veya tümevarım yoluyla 1) maddesindeki türden bir alt tahmine götürmesi şartıyla)
3) Aynı pariteye sahip tüm tam sayılar için $f(a+1) - f(a) \le f(b+1) - f(b)$ formülünün ispatlanması — 2 puan
4) Yeterince büyük $n$ için, $\lambda \ge \frac{1}{4}$ olan bir $\lambda$ ile $f(2^n) > 2^{\lambda n^2}$ tahmininin eksiksiz ve doğru biçimde ispatlanması — 3 puan
5) $f(2^{n+i}) > 2^{an+j} f(2^n)$ tipinde bir rekürans formülünün ispatlanması — 3 puan (basit bir iterasyon argümanı veya tümevarım yoluyla 4) maddesindeki türden bir alt tahmine götürmesi şartıyla)
6) İstenen alt tahminin eksiksiz ve doğru ispatı — 4 puan
Üst tahmin
7) Pozitif ve $\mu > \frac{1}{2}$ olan bir $\mu$ için $f(2^n) < 2^{\mu n^2}$ biçiminde bir tahminin ispatlanması — 1 puan
8 ) $f(2^{n+i}) < 2^{an+j} f(2^n)$ tipinde bir rekürans formülünün ispatlanması — 1 puan (basit bir iterasyon argümanı veya tümevarım yoluyla 7) maddesindeki türden bir üst tahmine götürmesi şartıyla)
9) Yeterince büyük $n$ için $f(2^n) < 2^{n^2/2}$ tahmininin eksiksiz ve doğru ispatı — 2 puan
10) $f(2^{n+i}) < 2^{an+j} f(2^n)$ tipinde bir rekürans formülünün ispatlanması — 2 puan (basit bir iterasyon argümanı veya tümevarım yoluyla 9) maddesindeki türden bir üst tahmine götürmesi şartıyla)
11) İstenen üst tahminin eksiksiz ve doğru ispatı — 3 puan
Genel
12) 1)–6) maddeleri arasında elde edilen en yüksek puan skor1 olur.
13) 7)–11) maddeleri arasında elde edilen en yüksek puan skor2 olur.
14) 6. sorunun puanı skor1 + skor2 toplamına eşittir. Tek istisnalar aşağıdaki 15)–17) maddeleridir.
15) Bu problem için 1)–14) maddeleri uyarınca en az bir puan değerinde başka hiçbir çalışma yapılmamışsa, $f$ fonksiyonunu tüm pozitif tam sayılar için tek biçimde tanımlayan eksiksiz ve doğru bir rekürans formülleri kümesi için 1 puan verilir; benzer biçimde, $F(x) = \prod (1 - x^{-2^i})^{-1}$ üreteç fonksiyonunun elde edilmesi için 1 puan verilir.
16) Bu problem için 1)–14) maddeleri uyarınca en az iki puan veya 15) maddesi uyarınca 1 puan değerinde başka hiçbir çalışma yapılmamışsa, $F(x) = \prod (1 + x^{2^i})^{i+1}$ üreteç fonksiyonunun elde edilmesi için 2 puan verilir.
17) 4) ve 9) maddelerindeki sonuçlara, başka hiçbir çalışma olmaksızın ulaşmak 6 puan eder.
15) ve 16) maddelerindeki üreteç fonksiyonu ifadeleri, orijinal belgede yazıldıkları biçimde aktarılmıştır.
AI Notu: 6. soru birbirinden bağımsız iki eşitsizliğin ispatını istediği için ölçüt de ikiye bölünmüş ve puan, iki yarının toplamı olarak tanımlanmıştır. Buna karşılık her yarının kendi içinde toplama değil maksimum alma kuralı işler: aynı zincirin hem zayıf hem güçlü halkasını ispatlayan öğrenci ikisinin puanını üst üste koyamaz, yalnızca en ileri gittiği maddenin puanını alır. 17) maddesi ise şaşırtıcı biçimde cömerttir: 4) ve 9) maddeleri normalde $3+2=5$ puan ederken, bu ikisini birlikte başaran bir çözüme 6 puan verilmiştir; yani tam çözüme çok yaklaşmış olmak ayrıca ödüllendirilmiştir. 15) ve 16) maddeleri de dikkate değer: problemin özünü çözemeyen ama doğru aracı, yani üreteç fonksiyonunu bulan bir öğrenci yine de eli boş dönmez.
AI Notu — Genel Değerlendirme: Bu beş ölçüt bir arada okunduğunda IMO puanlamasının mantığı belirginleşiyor. Puanlama, 7 puandan eksiltme yöntemiyle değil, resmî çözümün kilometre taşlarına bölünüp her taşa ayrı bir değer biçilmesiyle yapılıyor. Çabaya değil, ispatlanmış ara sonuca puan veriliyor; başarısız denemeler ve küçük durumlar açıkça sıfır sayılıyor. Aynı ilerlemenin iki ayrı maddeden puanlanmasını engelleyen yasaklar tek tek yazılıyor. En önemlisi de şu: bir fikri bulmak ile o fikri eksiksiz ifade etmek arasındaki fark, çoğu maddede üç kata varan bir puan farkıyla karşılığını buluyor.
