Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 06

[geo]

$3+3^2+3^{2^2} +3^{2^3} + \cdots +3^{2^{2006}}$ toplamı, $11$ moduna göre aşağıdakilerden hangisine denktir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Önce $n=1,2,3, \dots $ değerleri için $3^n$ ifadesinin $\mod{11}$ deki değerlerini inceleyelim. $3^n \equiv 3,9,5,4,1 \pmod{11}$  olduğundan $3^n$ nin periyodu $5$ tir.

O halde $m=0,1,2, \dots $ için $2^m$ ifadesinin $\mod{5}$ deki değerlerini incelememiz gerekir. $2^m \equiv 1,2,4,3,1 \pmod{11}$ olduğundan $2^m$ nin periyodu $4$ tür. Dolayısıyla bize verilen toplam $\mod{11}$ de, $3^{5k_1+1}+ 3^{5k_2+2}+3^{5k_3+4}+3^{5k_4+3}$ şeklinde $4$ lü gruplar halinde tekrar eder. $3^{5k_1+1}+ 3^{5k_2+2}+3^{5k_3+4}+3^{5k_4+3} \equiv 3+9+4+5 \equiv 10 \pmod{11}$ Bu toplamda $2007$ tane terim vardır ve $2007=501\cdot 4 +3$ olduğundan istenen değer $501\cdot 10 + 3+9+4 \equiv 10 \pmod{11}$ bulunur.