Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 03

[geo]

$a_1 = -1$, $a_2 = 2$ ve $n\geq 3$ için, $a_n = \dfrac {a_{n-1}}{a_{n-2}}$ ise, $a_{2006}$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ -2
\qquad\textbf{b)}\ -1
\qquad\textbf{c)}\ -\dfrac 12
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{e)}\ 2
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

Dizinin birkaç terimini hesaplayarak periyodik olduğunu gösterelim. $n \geq 1$ için $(a_n)=(-1,2,-2,-1, \frac{1}{2}, \frac{-1}{2}, -1, 2, \dots )$ olup $a_7=a_1$ ve $a_8=a_2$ olduğu görülmektedir. Dolayısıyla $(a_n)$ dizisi periyodik olup, periyot $6$ dır. $2006 \equiv 2 \pmod{6}$ olduğundan $a_{2006}=a_2=2$ elde edilir.