Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 21

[ERhan ERdoğan]

Bir $ABC$ üçgeninde $m( \widehat{A}) = 70^\circ$ dir. İçteğet çemberinin merkezi $I$ olmak üzere, $|BC| = |AC| + |AI|$ olduğuna göre, $m(\widehat{B})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 35^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 36^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 42^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

Problemi daha genel halde çözelim ve $m(\widehat{CBA})=\dfrac{m(\widehat{BAC})}{2}$ olduğunu ispatlayalım. $CA$ doğrusunun $A$ yönündeki uzantısı üzerinden $|DA|=|AI|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım. (Yani, $A$ noktası $C$ ile $D$ nın arasındadır.) $AID$ üçgeni ikizkenar üçgen olduğundan

$$m(\widehat{ADI})=\dfrac{m(\widehat{BAC})}{4} \dots (1)$$

dir. Ayrıca $|CD|=|CA|+|AD|=|CA|+|AI|=|BC|$ olduğundan $BCD$ üçgeni de ikizkenardır. Böylece

$$ m(\widehat{ADI}) = m(\widehat{CBI}) \dots (2) $$

olur. $BI$ nın, $ABC$ üçgeninde bir iç açıortay olduğunu da kullanırsak $(1)$ ve $(2)$ den $m(\widehat{CBA})=\dfrac{m(\widehat{BAC})}{2}$ elde edilir.

Şimdi $m(\widehat{BAC})=70^\circ$ için $m(\widehat{CBA})=\dfrac{70^\circ}{2}=35^\circ $ bulunur.