Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 05

[geo]

$ABCD$ konveks dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası $M$ olmak üzere, $m(\widehat{AMB}) = 60^\circ$. $O_1$, $O_2$, $O_3$, $O_4$ noktaları sırasıyla, $ABM$, $BCM$, $CDM$, $DAM$ üçgenlerinin çevrel çemberlerinin merkezleriyse, $\text{Alan}(ABCD)/\text{Alan}(O_1O_2O_3O_4)$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 12
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {\sqrt 3}2
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{1+2\sqrt 3}2
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{1+\sqrt 3}2
$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$BM$, $CM$, $DM$, $AM$ doğru parçalarının orta noktaları sırasıyla $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ olsun.
$O_1$ ve $O_2$, $BM$ doğru parçasının orta dikmesi üzerindedir, yani $O_1$, $O_2$ ve $M_1$ doğrusaldır.
Benzer şekilde $O_2O_3$ doğrusu $CM$ nin orta dikmesi, $O_3O_4$ doğrusu $MD$ nin orta dikmesi, $O_4O_1$ doğrusu $AM$ nin orta dikmesidir.
$O_1O_2 \perp BM$ ve $O_3O_4 \perp DM $ olduğu için $O_1O_2 \parallel O_3O_4$. Benzer şekilde $O_2O_3 \parallel O_1O_4$ olacağı için $O_1O_2O_3O_4$ bir paralelkenardır. $O_1M_1MM_4$ dörtgeninde iç açılar toplamı $360^\circ$ olacağı için $\angle O_2O_1O_4 = 180^\circ - \angle BMA = 120^\circ$ ve paralellikten $O_1O_4O_3 = 60^\circ$ dir.

$M_1M_3$, $O_1O_2O_3O_4$ paralelkenarında $O_1O_2$ ye ait yüksekliktir. $\dfrac {BD}{2} = M_1M_3 = O_1O_4 \cdot \sin 60^\circ$.
Benzer şekilde $\dfrac {AC}{2} =  M_2M_4 = O_3O_4 \cdot \sin 60^\circ$.

$\dfrac {[ABCD]}{[O_1O_2O_3O_3]} = \dfrac {\dfrac{AC\cdot BD \cdot \sin 60^\circ}{2}}{ O_1O_4 \cdot O_3O_4 \cdot \sin 60^\circ} = \dfrac {AC\cdot BD}{2 \cdot O_1O_4 \cdot O_3O_4} = \dfrac {2 \cdot O_3O_4 \cdot \sin 60^\circ \cdot 2 \cdot O_1O_4 \cdot \sin 60^\cdot}{2 \cdot O_1O_4 \cdot O_3O_4} = 2 \sin^2 60^\circ = \dfrac 32$