Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 27

[geo]

$a$, $b$, $c$ hepsi birden sıfır olmayan gerçel sayılar olmak üzere, $$\begin{array}{rcl}
ax^2 + bx + c &=& 0 \\
bx^2 + cx + a &=& 0 \\
cx^2 + ax + b &=& 0
\end{array}$$ denklem sisteminin en büyük gerçel kökü ile en küçük gerçel kökü arasındaki fark en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ 3 \sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Üst sınır yoktur}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{A}$

Tüm denklemleri toplarsak $(a+b+c)(x^2+x+1)=0$ elde edilir. $x^2+x+1=0$ denkleminin gerçel kökü olmadığından $a+b+c=0$'dır. Dolayısıyla $x=1$ verilen sistemin bir çözümüdür. Eğer $a,b,c$'den biri sıfırsa denklemlerden biri linear olacağından sistemin tek çözümü $x=1$ olur. $a,b,c\neq 0$ için başka bir çözümü olduğunu varsayalım. Bu çözüm $t\neq 1$ olsun. O halde polinomlar $$a(x-1)(x-t)=0$$ $$b(x-1)(x-t)=0$$ $$c(x-1)(x-t)=0$$ olarak yazılabilir. Sabit terimleri verilen sistemdekilere eşitlersek $$at=c$$ $$bt=a$$ $$ct=b$$ bulunur. Bunları taraf tarafa çarparsak da $abct^3=abc$ elde edilir. $abc\neq 0$ olduğundan $t=1$ olacaktır ki bu da bir çelişkidir. Dolayısıyla sistemin $x=1$ dışında çözümü yoktur. En büyük ve en küçük kök kendisi olacağından farkları $0$'dır.