Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 17

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninin $[AB]$, $[BC]$, $[CA]$ kenarları üzerinde, dışa doğru, sırasıyla $ABMN$, $BCKL$, $ACPQ$ kareleri, $[NQ]$ ve $[KP]$ doğru parçaları üzerinde de $NQZT$ ve $KPYX$ kareleri çiziliyor. $\text{Alan}(ABMN) - \text{Alan}(BCKL) = 1$ ise, $\text{Alan}(NQZT)-\text{Alan}(KPYX)$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac 34
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac 53
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$BC=a, AC=b, AB=c$, $\angle BAC = \alpha$ ve $\angle ACB = \theta$ olsun.
$\angle NAQ = 180^\circ - \alpha$ ve $\angle KCP = 180^\circ - \theta$ olacaktır.

$\triangle ABC$ de $a$ ve $c$ kenarı için Kosinüs Teoremi uygulayalım. $$b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha = a^2 \tag {1}$$ $$a^2 + b^2 - 2ab\cos \theta = c^2 \tag {2}$$ $(2)$ den $(1)$ i çıkarırsak $$2bc\cos \alpha - 2ab\cos \theta = 2c^2 - 2a^2 \tag {3}$$ elde ederiz.

$\triangle NAQ$ de $NQ$ için Kosinüs Teoreminden $$NQ^2 = b^2 + c^2 + 2bc \cos \alpha \tag{4}$$ $\triangle KCP$ de $KP$ için Kosinüs Teoreminden $$KP^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \theta \tag{5}$$ $(4)$ ten $(5)$ i çıkarırsak $$NQ^2 - KP^2 = c^2 - a^2 + 2bc \cos \alpha - 2ab\cos \theta \tag{6}$$ elde ederiz. $(3)$ teki eşitliği $(6)$ da yerine yazarsak $$\text{Alan}(NQZT)-\text{Alan}(KPYX) = NQ^2 - KP^2 = 3(c^2 - a^2) = 3 \tag {7}$$ elde edilir.