Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 09

[geo]

Çevrel çemberinin yarıçapı $1$ olan $ABC$ üçgeninin, $A$ ve $C$ köşelerinden ve diklik merkezinden geçen çemberin merkezi, üçgenin çevrel çemberi üzerinde yer alıyorsa, $|AC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 32
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt 2
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt 3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$ABC$ üçgeninin çevrel merkezi $O$, diklik merkezi $H$ olsun. $ACH$ üçgeninin çevrel merkezi $K$ olsun.
$\angle ABC = \beta$ dersek $\angle AHC = 180^\circ - \beta$, $\angle AOC = 2\beta$ ve $\angle AKC = 180^\circ - \beta$ olacaktır.
$2\angle AHC + \angle AKC = 360^\circ$ olacağı için $360^\circ - 2\beta + 180 - \beta = 360^\circ \Rightarrow \beta = 60^\circ$ dir.
Bu durumda $AOC$ ikizkenar üçgeni bir $30^\circ - 30^\circ - 120^\circ$ üçgeni olacağından $AC = AO \cdot \sqrt 3 = \sqrt 3$ tür.