Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 01

[geo]

$|AB| = 2$ olmak üzere, $A$ ve $B$ noktalarından geçen $4$ yarıçaplı çember, $A$ ve $C$ noktalarından geçen $3$ yarıçaplı çembere dıştan teğet olsun. $BC$ doğrusu ikinci çembere teğetse, $|BC|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 2+\dfrac{43}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac 52
\qquad\textbf{d)}\ 4+\sqrt 9
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt 7
$

[geo]

Yanıt: $\boxed E$

$4$ yarıçaplı çemberin merkezi $D$, $3$ yarıçaplı çemberin merkezi $E$ olsun.
$EC \perp BC$ olacağı için $BE$ yi bulduğumuzda $BC = \sqrt {BE^2 - EC^2} = \sqrt {BE^2 - 9}$ olacaktır.

$BE$ uzunluğunu Stewart'tan ya da Kosinüs Teoreminden hesaplayabiliriz.

Stewart ile
$\begin{array}{lcl}
BA^2 &=& \dfrac {BE^2 \cdot DA + BD^2 \cdot EA}{DA + AE} - EA \cdot DA \\
\Longrightarrow  2^2 &=& \dfrac{4^2 \cdot 3 + BE^2 \cdot 4}{4+3} - 3\cdot 4 \\
\Longrightarrow BE^2 &=& 16
\end{array}$

Kosinüs Teoremi ile
$\cos \angle EAB = - \cos \angle BAD = -\dfrac{1}{4}$ ve $BE^2 = BA^2 + AE^2 - 2\cdot BA \cdot AE \cdot \cos \angle EAB = 2^2 + 3^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dfrac {1}{4} = 16 $
elde edilir.
$BC = \sqrt {16 - 9} = \sqrt 7$.

[geo]

$BE = 4$ olduğu biraz farklı bir yöntemle de gösterilebilir.
$BA=BF = 2$ ve $F \in AD$ olacak şekilde $F$ noktası alalım. $\triangle ABF \sim ADB \quad (AA)$ olacaktır. Bu durumda $AF/AB = AB/AD \Rightarrow AF = 1$ ve $DF = 3$.
$EA=DF = 3$, $AB=FB=2$ ve $\angle BAE = 180^\circ - \angle BAF = 180^\circ - BFA = \angle BFD$ olduğu için $\triangle BAE \cong BFD \quad (KAK)$ ve $BE=BD=4$ olur.
Bu durumda $BC = \sqrt {4^2 - 3^2} = \sqrt 7$ olur.