Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 06

[geo]

$n$ nin aşağıdaki değerlerinden hangisi için $a^2 + ab - 6b^2 = n$ eşitliğini sağlayan $a$, $b$ tam sayıları bulunur?

$
\textbf{a)}\ 17
\qquad\textbf{b)}\ 19
\qquad\textbf{c)}\ 29
\qquad\textbf{d)}\ 31
\qquad\textbf{e)}\ 37
$

[taftazani44]

(a²+ab-6b²)=n ve n asal
(a-2b)(a+3b)=n=(+-1).(+-n) olmalıdır
n=31 için
a-2b=31
a+3b=1
İse b=-6 ve a=19 olur.

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$a^2 + ab - 6b^2 = (a-2b)(a+3b) = n$ ve $(a+3b)-(a-2b) = 5b$ olduğu için $n$ nin farkları $5$ ile bölünebilen iki sayının çarpımı şekilde yazılabilmesi lazım.
Şıklardan sadece $31 = 31 \cdot 1$ bu şekilde yazılabilir.
$a+3b = 31$ ve $a-2b=1$ sisteminin ortak çözümünden $a=13$ ve $b=6$ sayıları denklemi sağlar.