Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 25

[ERhan ERdoğan]

Birim çember üstünde $|AB| = |BC|$ ve $m(\widehat{ABC}) = 72^\circ$ olacak şekilde $A,B,C$ noktaları alınıyor. $BCD$ bir eşkenar üçgen olacak şekilde çemberin iç bölgesinde alınan bir $D$ noktası için, $AD$ doğrusu çemberi ikinci kez $E$ noktasında kesiyorsa, $|DE|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{1}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{3}-1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi $O$ olmak üzere $ m(\widehat{OBC}) = m(\widehat{OCB})=36^\circ $ dir. $|BA|=|BD|=|BC|=|DC|$ olduğundan $D$ noktası, $B$ merkezli ve $|AB|$ yarıçaplı çember üstündedir.

Aynı yayı gören merkez açı – çevre açı ilişkisinden $m(\widehat{ABD})=2 m(\widehat{ACD})=12^\circ $, $m(\widehat{CBD})=2 m(\widehat{CAD})=60^\circ $ dir. Buna göre $m(\widehat{EDC}) = m(\widehat{ECD})=36^\circ $ olur. $ EDC \cong OBC$ (açı-kenar-açı eşliği) olduğundan $|ED|=|OB|=1$ dir.