Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 22

[ERhan ERdoğan]

$n$ ve $m$ tam sayılar olmak üzere,$n \leq 2007 \leq m$ ve $n^n \equiv -1 \equiv m^m \pmod{5}$ ise, $m-n$ nin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Her $k$ tam sayısı için $1^k \equiv 1 \pmod{5}$ ve $5^k\equiv 0\pmod{5}$ tir. $k=1,2,3,4$ için $2^k\equiv 2,-1,3,1\pmod{5}$ , $3^k\equiv 3,-1,2,1\pmod{5}$, $4^k\equiv -1,1,-1,1\pmod{5}$ olur.

$m-n$ nin en küçük değerini bulmak için $n$ nin en büyük değeri ile $m$ nin en küçük değerini belirlemeliyiz. $n=2007,2006, \dots $ değerleri geriye doğru denenirse ilk olarak $n=2002$ için $2002^{2002} \equiv 2^2 \equiv -1 \pmod{5}$ elde edilir. $m=2007,2008, \dots $ değerleri ileriye doğru denenirse ilk olarak $m=2009$ için $2009^{2009} \equiv 4^1 \equiv -1 \pmod{5}$ elde edilir. Dolayısıyla $m-n=2009-2002=7$ bulunur.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{D}$.

$x^x\equiv -1\pmod 5$  denkliğini sağlayan $x$  tam sayılarını belirleyelim. $x\not\equiv 0,1\pmod 5$  olduğunu söyleyebiliriz. Ayrıca üslerin $4$  ile bölümüne bakacağız, yani Fermat Teoremi'ni kullanacağız.

$$\bullet \quad x=5k+2\Longleftrightarrow (5k+2)^{5k+2}\equiv 2^{k+2}\equiv -1 \pmod 5 \Longleftrightarrow k\equiv 0\pmod 4$$
olur. Dolayısıyla buradan $x\equiv 2\pmod {20}$  çözümü gelir.

$$\bullet \quad x=5k+3\Longleftrightarrow (5k+3)^{5k+3}\equiv 3^{k+3}\equiv -1 \pmod 5\Longleftrightarrow k\equiv 3\pmod 4$$
olur. Dolayısıyla buradan $x\equiv 18\pmod {20}$  çözümü gelir.

$$\bullet \quad x=5k+4\Longleftrightarrow (5k+4)^{5k+4}\equiv 4^{k}\equiv -1 \pmod 5\Longleftrightarrow k\equiv 1,3\pmod 4$$
olur. Dolayısıyla buradan $x\equiv 9,19\pmod {20}$  çözümü gelir.

Bundan ötürü $x^x\equiv 4\pmod {5}$  denkliğinin çözümü $x\equiv 2,9,18,19 \pmod {20}$  iken sağlanır. Soruda istenen aralıkta $m-n$  ifadesini minimum yapan sayılar ise modulo $20$  de denkliği sağlayan  $2002$  ve $2009$  sayılarıdır.

[Metin Can Aydemir]

$2$ sayısı $5$ modunda ilkel köktür. $(a,5)=1$ olan her sayı $5$ modunda $2$'nin kuvveti olarak yazılabilir. $m\equiv 2^{m_0}$ yazarsak, $$m^m\equiv 2^{m_0m}\equiv -1\pmod{5}$$ olacağından $mm_0\equiv 2\pmod{4}$ olmalıdır. $m$ ve $m_0$'dan biri tek sayı diğeri $4k+2$ formatında olmalıdır.

$m\equiv 2\pmod{4}$ ise $m_0\equiv 1,3\pmod{4}$ olabilir. $m\equiv 2^{m_0}\equiv 2^1,2^3\equiv 2,3\pmod{5}$ olacaktır. Çin kalan teoreminden birleştirirsek, $m\equiv 2,18\pmod{20}$ bulunur.

$m\equiv 1\pmod{2}$ ise $m_0\equiv 2\pmod{4}$, yani $m\equiv 2^{m_0}\equiv 4\pmod{5}$'dir. Çin kalan teoreminden birleştirirsek, $m\equiv 9\pmod{10}$ bulunur. Sonuç olarak $$m\equiv 2,9,18,19\pmod{20}$$ bulunur. max $n=2002$ ve min $m=2009$ olduğundan $m-n$ en az $7$'dir.