Tübitak Lise 1. Aşama 2004 Soru 07

[geo]

Farklı ağırlıktaki dört taş, iki kefeli bir teraziyi en az kaç kez kullanarak hafiften ağıra doğru sıralanabilir?

$
\textbf{a)}\ 4
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[taftazani44]

Taşlar x,y,z,t olsunlar
 x ile y yi tartalım.x<y olsun
z ile t yi tartalım.z<t olsun
x ile z yi (yani iki küçük olanı)
y ile t yi (iki büyük olan)
Eger x<z olursa sıralama  tamam olur.Degilse
x ile t  tartılır . sıralama tamamlanır.

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Farklı sıralama sayısı $4!$ dir. $n$ tartım yapıldığında $2^{n}$ durum olabileceğinden $2^{n} \geq 24$ eşitsizliğinden $n \geq 5$ elde edilir.
$5$ tartımda ağırlıkları $a, b, c, d$ olan taşları hafiften ağıra doğru nasıl sıralanabileceğini gösterelim:
Önce $a$ ile $b$'yi ve $c$ ile $d$'yi tartalım, sonuç örneğin $a<b$ ve $c<d$ olsun. Sonra $a$ ile $c$'yi tartalım, sonuç örneğin $a<c$ olsun. Bu durumda $a<d$ olduğundan $a$ ile $d$'yi tartmaya gerek kalmayacak. Şimdi $b$ ile $c$'yi ve $b$ ile $d$'yi tartarsak tüm ikilileri karşılaştırmış olacağız ve böylece $5$ tartım ile taşları sıralayabileceğiz. Diğer durumlar da ayn şekilde incelenir.

Kaynak: Sonlu Matematik Olimpiyat Soruları ve Çözümleri, Refail Alizade, Ünal Ufuktepe, 2006. Problem No: 1.83, Sayfa 125.