Cevap: $\boxed{A}$
Öncelikle $n\equiv 0\pmod{11}$ için $5^n+n^5$ sayısının $11$ ile bölünemeyeceğini görelim. $(n,11)=1$ için $11$ asal olduğundan ve $$\left(n^5\right)^2\equiv 1\pmod{11}\implies n^5\equiv \pm 1\pmod{11}$$ Not: Bu bir teoremdir. Eğer $n$ sayısının ilkel kökü varsa, yani $1,2,4,p^a, 2p^a$ formatlarındaysa, $x^2\equiv 1\pmod{n}$ denkliğinin çözümleri sadece $x\equiv \pm 1\pmod{n}$'dir. Sonuç olarak $$5^n\equiv \pm 1\pmod{11}$$ olmalıdır. $5$'in $11$ modundaki mertebesinin $5$ olduğunu görelim, yani $$5^5\equiv \left(5^2\right)^2\cdot 5\equiv 3^2\cdot 5\equiv 1\pmod{11}$$ olur. $5$'ten daha küçük bir mertebesi olamayacağı $5$'in asal sayı olmasından bellidir. Ayrıca $5^n\equiv -1\pmod{11}$ denkliğinin de çözümsüz olduğunu görmek zor değildir. çünkü bu denkliği sağlayan en küçük pozitif $n$ ise $2n$ mertebe olacaktır ama mertebe tek sayıdır.
Dolayısıyla $5^n+n^5\equiv 0\pmod{11}$ olması için $5^n\equiv 1\pmod{11}$ ve $n^5\equiv -1\pmod{11}$ olmalıdır. $$5^n\equiv 1\pmod{11}\implies n\equiv 0\pmod{5}$$ olduğundan önce $2005$'i sonra $2010$'u denemeliyiz. $n=2005$ için $$2005^5\equiv 3^5\equiv 243\equiv 1\pmod{11}$$ olur ve istenen sağlanmaz. $n=2010$ için $$2010^5\equiv (-3)^5\equiv -243\equiv -1\pmod{11}$$ olur. $\boxed{n=2010}$ sağlar.
