Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 20

[geo]

$\sqrt{ x + 1 - 4\sqrt{x-3}} + \sqrt{ x + 6 - 6\sqrt{x-3}} =  1$ denklemini sağlayan kaç $x$ gerçel sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 6
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[t-temiz]

Yanıt: $\boxed{E}$

$4\sqrt{x-3}=2\sqrt{4x-12}$ ve $6\sqrt{x-3}=2\sqrt{9x-27}$ yazarsak verilen ifade $\sqrt{x+1-2\sqrt{4x-12}}+\sqrt{x+6-2\sqrt{9x-27}}$ Burada $4x-12=4(x-3)$ ve $x+1=4+(x-3)$ olduğundan $\sqrt{x+1-2\sqrt{4x-12}}=\mid 2-\sqrt{x-3} \mid$
Benzer şekilde $9x-27=9.(x-3)$ ve $x+6=9+(x-3)$ olduğundan $\sqrt{x+6-2\sqrt{9x-27}}=\mid 3-\sqrt{x-3} \mid$ Soruda verilen denklem de $\mid 2-\sqrt{x-3} \mid+\mid 3-\sqrt{x-3} \mid=1$ olur. Bu eşitlik $3\ge \sqrt{x-3}\ge 2$  koşulunu sağlayan her $x$ gerçel sayısı için sağlanır. Yani sonsuz tane çözümü vardır.