Tübitak Lise 1. Aşama 2003 Soru 13

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde, $|AB|=8$ ve $|AC|=2|BC|$ dir. $[AB]$ kenarına ait yükseklik en fazla kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 3\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 3\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {16}3
\qquad\textbf{e)}\ 6
$ 

[Lokman Gökçe]

(Lokman GÖKÇE)

$|AB|=2|BC|$ eşitliğini sağlayan $C$ noktalarının geometrik yeri bir çemberdir. (Apollonius çemberi) $C$ noktasında $AB$ ye çizilen iç açıortay ve dış açıortay ayakları sırasıyla $C_1$ ve $C_2$ olsun. Açıortay teoremleri yardımıyla $|C_1B|=\dfrac{8}{3}$ ve $|C_2B|=8$ bulunur. $|C_1C_2|=\dfrac{32}{3}$ uzunluğu Apollonius çemberinin çapıdır. $[AB]$ kenarına ait $h_c$ yüksekliğinin en büyük olması için $C$ noktası çember üzerindeki $AB$ ye en uzak nokta olmalıdır. Yani $h_c$ en fazla yarıçap kadardır. $h_c=\dfrac{16}{3}$

[geo]

Heron Formülü ile de sonuca gidebiliriz:

$BC=2x$ diyelim.

$[ABC]=\sqrt{(3x+4)(3x-4)(4+x)(4-x)} = \sqrt{(9x^2 - 16)(16-x^2)}$

$3[ABC] = \sqrt{(9x^2 - 16)\cdot 9 \cdot (16-x^2)}=\sqrt{(9x^2 - 16)(9\cdot 16-9x^2)}$

$3 \cdot \dfrac{8\cdot h}{2} = 12h = \sqrt{(9x^2 - 16)(9\cdot 16-9x^2)}$

Sağ tarafta toplamları sabit olan iki sayının çarpımı söz konusu. O halde, bu çarpım en büyük değerini sayılar eşit olunca alacak: $9x^2 - 16 = 9 \cdot 16 - 9x^2 = \dfrac{8\cdot 16}{2} = 64$.

$h_{\text{max}} = \dfrac{64}{12} = \dfrac{16}{3}$ $\blacksquare$

[geo]

Bir de geometrik bir çözüm verelim:

$[AC]$ üzerinde $\angle KBC = \angle CAB$ olacak şekilde $K$ noktası alalım. $\triangle CKB \sim \triangle CBA$ olacaktır.

$BC=2x$ olsun.

$\dfrac{BK}{AB} = \dfrac{CK}{BC} = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{1}{2}$

Bu durumda $BK=4$, $CK=x$ ve $AC=4x$.

$\dfrac{8 \cdot h}{2} = [ABC] = \dfrac{4[ABK]}{3} \leq \dfrac{4\max([ABK])}{3} = \dfrac 43 \cdot \dfrac{AB\cdot BK}{2} = \dfrac 43 \cdot 16 = \dfrac {64}{3}$

$h \leq \dfrac{16}{3}$ $\blacksquare$

[geo]

Lokman Hoca'nın çözümünden soruyu genelleyelim:

Soru: $\triangle ABC$'de $BC=a$ ve $AC/AB=b/c$ oranı sabitten, $[ABC]$ en çok kaç olabilir?

$AN_1$ iç açıortay $AN_2$ dış açıortay olsun. $N_1N_2$ nin orta noktası da $M$ olsun.
$b<c$ kabul edelim.

$CN_1 = \dfrac{ab}{b+c}$

$CN_2 = \dfrac{ab}{c-b}$

Maksimum yükseklik için $AM = CN_1 = CN_2 = \dfrac{N_1N_2}{2} = \dfrac{abc}{c^2-b^2}$.

Biraz daha düzenlemeyle $h_{\max} = a \cdot \dfrac{1}{\left | \frac cb - \frac bc \right |}$.

$[ABC]_{\max} = \dfrac {a^2}2 \cdot \dfrac{1}{\left | \frac cb - \frac bc \right |}$ $\blacksquare$

Bir not düşelim: $b=c$ iken üst limit yoktur.