Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 26

[ERhan ERdoğan]

$$A=\dfrac{2^{2}+3\cdot 2+1}{3!\cdot 4!}+\dfrac{3^{2}+3\cdot 3+1}{4!\cdot 5!}+\dfrac{4^{2}+3\cdot 4+1}{5!\cdot 6!}+\cdots +\dfrac{10^{2}+3\cdot 10+1}{11!\cdot 12!} $$ toplamı için $11!\cdot12! \cdot A$ sayısını $11$ e bölünce kalan nedir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ 10
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{E}$
İfademiz genel olarak $\dfrac{k^2+3k+1}{(k+1)!(k+2)!}$ şeklindedir.

Düzenlersek;

$\dfrac{k^2+3k+1+1-1}{(k+1)!(k+2)!}\Rightarrow \dfrac{(k+1)(k+2)-1}{(k+1).k!.(k+2).(k+1)!}\Rightarrow 11!.12!.A\equiv \dfrac{11!.12!}{2!.3!}-1\equiv 10 \pmod {11}$ bulunur.