Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 35

[geo]

Her $i = 0, 1, 2, \dots$ tam sayısı için, ağırlığı $2^i$ olan sekiz top bulunmaktadır. $n$ kutunun her birinin içine istenildiği kadar top konabiliyor. Her kutuya konulan topların ağırlıklarının toplamı aynıysa, $n$ en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 8
\qquad\textbf{b)}\ 10
\qquad\textbf{c)}\ 12
\qquad\textbf{d)}\ 15
\qquad\textbf{e)}\ 16
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

Kutulardaki en ağır top $2^m$ olsun. Bu durumda kullanılabilecek tüm topların toplam ağırlığı $8 \cdot (1+ 2 + \cdots + 2^m) = 8(2^{m+1}-1)$ olacaktır.
Diğer taraftan her kutunun ağırlığı en az $2^m$ olacağı için $$n \cdot 2^m \leq 2^{m+4} - 8 \Rightarrow n \leq 2^{4} - \dfrac{8}{2^m} < 16.$$
$m=3$ için $n=15$ olabilir.
$8$ kutuya $8$ ağırlıklı toplardan birer tane, $4$ kutuya $4$ ağırlıklı toplardan ikişer tane, $2$ kutuya $2$ ağırlıklı toplardan dörder tane, $1$ kutuya $1$ ağırlıklı $8$ top koyarsak her kutudaki topların ağırlığı $8$ olmuş olur.