Tübitak Lise 1. Aşama 2002 Soru 10

[geo]

$x^3 - 13y^3 = 1453$ eşitliğini sağlayan $(x, y)$ tam sayı sıralı ikililerinin sayısı aşağıdakilerden hangisine bölünmez?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 7
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

Eşitliği $\bmod 7$ de inceleyelim. $$x^3 -13y^3 \equiv x^3 + y^3 \equiv 1453 \equiv 4 \pmod 7$$ $\bmod 7$ de küp kalanlar kümesi $\{0,1,6\}$ dır. $a,b \in \{0,1,6\}$ ve $a+b=4$ olacak şekilde $a,b$ sayıları bulunamayacağı için denklemin çözüm kümesi boştur. Şıklardan hepsi $0$ sayısını böleceği için cevap hiçbiridir.