Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 32

[geo]

$(\sqrt{10} + 3)^{2001}$ sayısının ondalık açılımında virgülden sonraki $33$ üncü rakam kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$(\sqrt{10} + 3)^{2001}=a+b\sqrt{10}$ olacak şekilde $a,b$ tam sayıları vardır. Bu sayılar için $(\sqrt{10} - 3)^{2001}=a-b\sqrt{10}$ olur. Burada iki önemli gözlem yapmalıyız:

1. Gözlem: $(\sqrt{10} + 3)^{2001}+(\sqrt{10} - 3)^{2001}=2a$ şeklinde bir pozitif çift tam sayı olur. Bu gözlemin doğruluğu açıktır.


2. Gözlem: $0 < (\sqrt{10} - 3)^{2001} < 10^{-33}$ olur.

2. gözlemimizi ispatlayalım: $0 < (\sqrt{10} - 3)^2 < 10^{-1}$ olduğunu görelim. Gerçekten $(\sqrt{10} - 3)^2 < 10^{-1}\Leftrightarrow 10+9-6\sqrt {10} <\dfrac{1}{10}\Leftrightarrow 189 < 60\sqrt{10}\Leftrightarrow 189^2< 36000$ olur. Dolayısıyla $(\sqrt{10} - 3)^{2001} < (\sqrt{10} - 3)^{2000} < (10^{-1})^{1000}<10^{-33}$ elde edilir.

Bu 2. gözlemimize göre $(\sqrt{10} - 3)^{2001} $ pozitif sayısının virgülden sonraki ilk $33$ basamağının (hatta virgülden sonraki ilk $1000$ basamağının bile) $0$ olduğunu söyleyebiliriz. Dolayısıyla $(\sqrt{10} + 3)^{2001}=2a-(\sqrt{10} - 3)^{2001}$ sayısı $2a$ tam sayısına çok yakındır ve tam kısmı $2a-1$ dir. Ondalıklı kısmında ise virgülden sonra $33$ tane (hatta $1000$) tane $0$ rakamı bulunur.