Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 21

[geo]

Kenar uzunluğu $a$ olan düzgün dışbükey dokuzgenin en kısa ve en uzun köşegenlerinin uzunlukları sırasıyla $b$ ve $c$ ise, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$
\textbf{a)}\ b=\dfrac{a+c}2
\qquad\textbf{b)}\ b=\sqrt{ac}
\qquad\textbf{c)}\ b^2 = \dfrac{a^2+c^2}2 \\
\textbf{d)}\ c=a+b
\qquad\textbf{e)}\ c^2=a^2+b^2
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$A_1A_2\dots A_9$ bir düzgün dokuzgen olsun. $A_1A_5$ en büyük, $A_1A_3$ de en küçük köşegendir.

Düzgün dokuzgenin bir dış açısı $40^\circ$ olacağı için, dokuzgenin köşelerinden oluşan her açı gördüğü kenar sayısının $20^\circ$ ile çarpımı kadar ölçüye sahip olacaktır.  Bu durumda, $\angle A_4A_5A_1 = 60^\circ$ dir. $[A_1A_5]$ üzerinde $A_5P = A_4A_5 = a$ olacak şekilde bir $P$ noktası alalım. $\triangle A_4A_5P$ bir eşkenar üçgen olacak. $A_4P = A_3A_4$ ve $\angle A_3A_4P = 80^\circ$ olduğu için $\angle A_3PA_4 = 50^\circ$. Bu durumda $\angle A_3PA_1 = 70^\circ$ ve $\angle A_3A_1P = 40^\circ$ olduğu için $A_1A_3 = A_1P = b$ olacaktır. O halde $c = a + b$.