Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 16

[geo]

$a$ bir gerçel sayı olmak üzere, $P(x) = x^3+ax+1$ polinomunun $[-2, 0)$ ve $(0, 1]$ aralıklarında tam olarak birer gerçel kökü varsa, aşağıdakilerden hangisi $P(2)$ ye eşit olamaz?

$
\textbf{a)}\ \sqrt {17}
\qquad\textbf{b)}\ \sqrt[3]{30}
\qquad\textbf{c)}\ \sqrt {26} - 1
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{30}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt[3]{10}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$P(0)=1$ olduğu için bahsi geçen aralıklarda tam olarak birer çözüm olması için $P(-2)<0$ ve $P(1)<0$ olması gerekir. Eşitsizlikleri yazarsak, $$P(-2)=-7-2a<0 \Rightarrow 7<2a\\ P(1)=2+a<0 \Rightarrow 2a<-4$$ $-7<2a<-4$ elde ederiz. Bu durumda $2 < P(2)=2a+9 < 5$ olacaktır. Şıklardan $\sqrt{30} \not\in (2,5)$ dir.