Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 08

[ERhan ERdoğan]

$10 \times  10$ bir satranç tahtasının birinci satırının karelerine sırasıyla $0, 1, 2, \dots , 9$, ikinci satırının karelerine sırasıyla $10, 11, \dots , 19, \dots$, onuncu satırının karelerine sırasıyla $90, 91, \dots , 99$ sayıları yazılmıştır. Sayıların bazılarının önüne, her satır ve her sütunda tam olarak beş tane olacak şekilde eksi işaretleri ekleyerek tüm sayıların toplamı en az kaç yapılabilir?

$
\textbf{a)}\ -10
\qquad\textbf{b)}\ -2
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 10
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{\text E}$

İşaretlerin yerlerinden bağımsız olarak tüm sayıların toplamı her zaman $0$ oluyor.
Her sütunda tam olarak beş tane eksi işaret olduğuna göre, tüm sayıların birler basamaklarının toplamı sıfıra eşittir. Her satırda tam olarak beş tane eksi işaret olduğuna göre, tümm sayıların onlar basamaklarının toplamı sıfıra eşittir. Buna göre, tüm sayıların toplamı her zaman sıfıra eşittir.

Kaynak: Tübitak Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri