Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 25

[geo]

Alanı $18$ olan bir $ABCD$ dışbükey dörtgeninde, $|AB|+|BD|+|DC|=12$ ise, $|AC|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 6\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 6\sqrt 2
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$AB=x$, $BD=y$, $CD=z$ olsun. $$[ABCD]=18 \leq \dfrac{xy+yz}{2} = \dfrac{y(x+z)}{2} \Rightarrow 36 \leq y(x+z)$$ olacaktır. Diğer taraftan $AO\geq GO$ dan, $$ \dfrac{y+(x+z)}{2} = 6\geq\sqrt{y(x+z)} \Rightarrow 36 \geq y(x+z)$$ olacağı için $y(x+z) = 36$ dır. Yani eşitsizlikteki eşitlik sağlanmış. Eşitlik $y=x+z = 6$, $BD\perp AB$ ve $BD\perp AC$ iken sağlanır.
$A$ dan $BD$ ye çizilen paralel $DC$ yi $E$ de kessin. $AE=BD=6$ ve $EC=AB+CD=6$ olduğu için $AC=6\sqrt 2$ çıkacaktır.

NOT:
Bu soru, IMO 1976/1 sorusunun neredeyse aynısıdır.