Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 21

[geo]

Bir $ABCD$ dışbükey kirişler dörtgeninde $m(\widehat{ACB}) = 90^\circ$, $m(\widehat{ABD})=45^\circ$, $|AB|=26$ ve $|BC|=10$ ise, $DAC$ üçgeninin alanı nedir?

$
\textbf{a)}\ 120
\qquad\textbf{b)}\ 108
\qquad\textbf{c)}\ 90
\qquad\textbf{d)}\ 84
\qquad\textbf{e)}\ 80
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$ABCD$ kirişler dörtgeninde $\angle ABD = \angle ACD = 45^\circ$ ve $\angle ADB = \angle BCA = 90^\circ$ olduğu için $\triangle ABD$ ikizkenar dik üçgendir. $AB=26 \Rightarrow AD = 13\sqrt 2$.
$\angle ADC$ geniş açı olduğu için $A$ dan $CD$ ye inilen yükseklik üçgenin dışındadır. Bu yükseklik $CD$ yi $E$ de kessin. $\angle ADE = \angle ABC$ olduğu için $$\triangle ADE \sim ABC \Rightarrow AE=12\sqrt 2 \text{ ve } DE=5\sqrt 2 \Rightarrow CD = 7\sqrt 2 $$ elde edilir. $$[DAC] = \dfrac{DC\cdot AE}{2} = \dfrac{12\sqrt 2 \cdot 7\sqrt 2}{2} = 84$$

[geo]

Pisagordan $AC=24$ ve $\triangle ABD$ ikizkenar dik üçgeninden $AD=BD=13\sqrt 2$ dir. Ptolemy'den $$AB\cdot CD + BC \cdot AD = BD\cdot AC \Rightarrow 26\cdot CD + 10\cdot 13\sqrt 2 = 24\cdot 13\sqrt 2 \Rightarrow CD=7\sqrt 2$$ olur. $$[DAC] = \dfrac 12 \cdot AC \cdot CD \cdot \sin \angle ACD = \dfrac 12 \cdot 24 \cdot 7\sqrt 2 \cdot \dfrac {\sqrt 2} 2 = 84$$