Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 32

[geo]

$(a_n)_{n=1}^{\infty}$ gerçel sayılar dizisi, her $n\geq 1 $ için $a_{n+1}=a_na_{n+2}$ koşulunu sağlıyorsa, $\{a_n:n\geq 1\}$ kümesinin eleman sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?

$
\textbf{a)}\ 2
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$$a_{n+2} = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$$ olduğu için
$a_1 = a$ ve $a_2=b$ ise
$$ a_3 = \dfrac ba, a_4 = \dfrac 1a , a_5 = \dfrac 1b, a_6 = \dfrac ab, a_7 = a, a_8 = b$$
elde edilir. Bu durumda $\{a_n:n\geq 1\}$ kümesinin elemanları $a, b, \dfrac 1a, \dfrac 1b, \dfrac ab, \dfrac ba$ dan oluşur.

$a=1, b=-1$ ise $1, -1, 1, -1, -1, -1$ olduğundan $\{a_n:n\geq 1\}$ kümesi $2$ elemanlı olacaktır.

$a=b\neq 1$ ise $a, a, \dfrac 1a, \dfrac 1a, 1, 1$ olduğundan $\{a_n:n\geq 1\}$ kümesi $3$ elemanlı olacaktır.
$b=a^2\neq 1$ olduğunda $a, a^2, \dfrac 1a, \dfrac 1{a^2}, \dfrac 1a, a$ olduğundan $\{a_n:n\geq 1\}$ kümesi $4$ elemanlı olacaktır.
$a=-b \not\in \{1,-1\}$ ise $a, -a, \dfrac 1a, -\dfrac 1a, -1, -1$ olduğundan $\{a_n:n\geq 1\}$ kümesi $5$ elemanlı olacaktır.
Bu durumda cevap hiçbiridir.