Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 30

[geo]

Her $0 \leq i \leq 9$ için $a_i \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ olmak üzere, $6 \displaystyle {\sum_{i=0}^{9}} a_i5^i \equiv 1 \pmod {5^{10}}$ ise, $a_9$ aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 4
$

[geo]

Tüm işlemlerimizi $10$ tabanı yerine $5$ tabanında yaparsak, bizden istenen
$$ (11)_{5}\cdot(a_{9}a_{8}\dots a_{0})_{5}= (b_{n}\dots b_{10}b_{9}b_{8}\dots b_{0}) = (b_{n}\dots b_{10}00\dots1) $$ eşitliğindeki $a_i$ leri bulmamız. Eşitliği
$$ (11)_{5}\cdot(a_{9}a_{8}\dots a_{0})_{5} = (a_{9}a_{8}\dots a_{0}0)_{5}+(a_{9}a_{8}\dots a_{0})_{5} = (b_{n}\dots b_{10}00\dots1) $$ olarak yeniden yazdığımızda $5^0$ lar basamağının eşitliğinden $a_0 = 1$ olduğu hemen fark edilir. Daha sonra $5^1$ ler basamağında $a_0 + a_1 = 0$ olduğu için $a_1 = 4$ olarak elde edilir. Bu işlem ilkokul toplamasındaki gibi devam ettirilerek
$$ (40404040410)_{5}+(4040404041)_{5}= (100000000001)_{5}\equiv 1 \pmod {5^{10}} $$ elde edilir. Bu durumda $a_9 = 4$ tür.