Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 05

[geo]

$ABC$ ikizkenar üçgeninde $|AB|=|AC|=10$ ve $|BC|=12$ dir. $[BC]$ üstünde $|BP|=|RC|=3$ olacak şekilde $P$ ve $R$ noktaları alınıyor. $S$ ve $T$ sırasıyla $AB$ ve $AC$ nin orta noktaları olmak üzere, $PT$ ye $S$ ve $R$ den inilen dikme ayakları, $M$ ve $N$ ise, $|MN|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{9\sqrt{13}}{26}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{12-2\sqrt{13}}{13}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{5\sqrt{13}+20}{13}
\qquad\textbf{d)}\ 15 \sqrt 3
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{10\sqrt{13}}{13}
$

[geo]

$[BC]$ nin orta noktası $H$ olsun. $SP \parallel AH \parallel TR$ ve $ST \parallel BC$ olduğu için $PSTR$ bir dikdörtgendir. Pisagordan $$SP = 4, PR = 6, PT = 2\sqrt {13} $$ elde ederiz. Öklid'den elde ettiğimiz $$MT \cdot PT = ST^2 = 36$$ $$NT \cdot PT = RT^2 = 16$$
ifadeleri taraf tarafa çıkartırsak $$(MT - TN)PT=20 \Rightarrow MN = \dfrac{10\sqrt{13}}{13}$$ bulunur.