Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 30

[geo]

$m=(abab)$ ve $n=(cdcd)$ ondalık sistemde dört basamaklı sistemde dört basamaklı iki tam sayının gösterimi olsun. $m+n$ sayısının tam kare olmasını sağlayan $(m,n)$ çiftleri için, $a\cdot b \cdot c \cdot d$ çarpımı en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 392
\qquad\textbf{b)}\ 420
\qquad\textbf{c)}\ 588
\qquad\textbf{d)}\ 600
\qquad\textbf{e)}\ 750
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$$\begin{array}{rcl}
m+n &=& (1000a + 100b + 10a + b) + (1000c + 100d + 10c + d) \\
&=& 1010a + 101b + 1010c + 101d \\
&=& 101(10a + b + 10c + d) \\
&=& 101(\overline {ab} + \overline {cd}) \\
101(\overline {ab} + \overline {cd}) &=& T^2 \Rightarrow (\overline {ab} + \overline {cd}) = 101k^2
\end{array}$$
elde edilir. $20 \leq \overline {ab} + \overline {cd} \leq 198$ olacağı için de $k=1$ ve $\overline {ab} + \overline {cd} = 101$ olur.
$$ 2 \leq b+d \leq 18 \Rightarrow 101-18=83 \leq 10(a+c) \leq 99 \Rightarrow 10(a+c) = 90 \Rightarrow a+c = 9 \Rightarrow b+d = 11$$
$a\cdot b \cdot c \cdot d$ ' yi maksimize etmek için $a$ ile $c$, $b$ ile de $d$ de birbirine çok yakın olmalı. Bunun nedeni toplamları sabit olan ($a+c=9$) iki sayının çarpımı en büyük değerini sayılar eşit ($a=b$) iken alır. Bu $AO \geq GO$ nun bir sonucudur. Bu durumda
$$\{a, c\} = \{4, 5\}, \{b, d\} = \{5, 6\} \Rightarrow \max \{a\cdot b \cdot c \cdot d\} = 4 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 6 = 600$$ olur.