Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 09

[ERhan ERdoğan]

Dışbükey bir $ABCD$ dörtgeninin köşegenlerinin kesişim noktası $E$ olmak üzere, $AEB,BEC,CED$ ve $DEA$ üçgenlerinin çevre uzunlukları
birbirlerine eşittir. $AEB,BEC$ ve $CED$ üçgenlerinin iç teğet çemberlerinin yarıçapları sırasıyla, $3, 4$ ve $6$ ise, $DEA$ üçgeninin iç teğet çemberinin yarıçapı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{9}{2}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{7}{2}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{13}{3}
\qquad\textbf{d)}\ 5
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{A}$

Bahsi geçen üçgenlerin alanları arasında $A(AEB) \cdot A(CED)=A(BEC) \cdot A(DEA)$ eşitliği geçerlidir.

Bir üçgenin alanı yarı çevresi ile, iç teğet çember yarıçapının çarpımına eşittir.

Üçgenlerin çevreleri eşit verildiğine göre yarıçapları çarpımı da eşit olacaktır. Bu sebepten aranan yarıçap $r$ olmak üzere;

$4 \cdot r = 3 \cdot 6 \Rightarrow r=9/2$