Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 02

[ERhan ERdoğan]

$a^2+b^4=5^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(a,b,n)$ pozitif tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{E}$

$a=2 \cdot 5^{2x} , b=5^x$ alırsak $4\cdot 5^{4x}+5^{4x}=5.5^{4x}=5^{4x+1}=5^n \Rightarrow n=4x+1$ olup $x \in \mathbb{Z}^+$ için $(2\cdot 5^{2x} , 5^x , 4x+1)$ olacak şekilde sonsuz çözüm vardır.

[geo]

$3^2 + 2^4 = 5^2$ olduğu için $(3,2,2)$ bir çözüm. $k$ negatif olmayan bir tam sayı olmak üzere; her tarafı $5^{4k}$ ile çarparsak, $ (3\cdot 5^{2k}, 2\cdot 5^k, 4k+2) $ üçlüsü de bir çözüm olacak.