Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 20

[geo]

$x^33^{1/x^3} + \dfrac{1}{x^3}3^{x^3} = 6$ denkleminin kaç farklı gerçel çözümü vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$x<0$ için sol taraf negatif olacağı için denklemin negatif kökü yoktur.
$x\geq 0$ için, $AO \geq GO$ uygularsak $$\dfrac 62 = \dfrac{x^33^{1/x^3} + \dfrac{1}{x^3}3^{x^3}}2 \geq \sqrt{ x^33^{1/x^3} \cdot \dfrac{1}{x^3}3^{x^3} } = \sqrt{3^{x^3 + \frac{1}{x^3}}} \geq \sqrt{3^2} = 3$$
elde edilir. Bu durumda iki kez $AO \geq GO$ kullandığımız için, hem $x^33^{1/x^3} = \dfrac{1}{x^3}3^{x^3} $ hem de $x^3 = \dfrac1{x^3}$ olmalı. İkincisi birincisini gerektireceğinden $x=\pm 1$ elde edilir. Negatif olamayacağı için eşitlik durumu sadece $x=1$ iken sağlanır.