Tübitak Lise 1. Aşama 1998 Soru 05

[geo]

Köşegenlerinin kesişim noktası $E$ ile gösterilmek üzere, bir $ABCD$ kirişler dörtgeninde $m(\widehat{B})=m(\widehat{D})$,  $ m(\widehat{BCD})= 150^\circ$,  $|BE|=x$, $|ED|=y$ ve $|AC|=z$ ise, $y$ nin $x$ ve $z$ cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {z-x}{\sqrt 3}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {z-2x}{3}
\qquad\textbf{c)}\ {z+x}{\sqrt 3}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {z-2x}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {2z-3x}{2}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$\angle B = \angle D$ ve dörgen kirişler dörtgeni olduğu için $AC$ çaptır. $O$ bu kirişler dörtgeninin çevrel merkezi olsun. $\angle BOD = 2\cdot \angle BAD = 2 \cdot (180^\circ - 150^\circ) = 60^\circ$ olacağından $\triangle BOD$ bir eşkenar üçgendir. Bu durumda çemberin yarıçapı $OB=OD=BD=x+y$, çapı $z = 2(x+y) = 2x+2y \Rightarrow y = \dfrac{z-2x}2$ çıkar.

[geo]

$\triangle BCD$'de Sinüs teoreminden $\dfrac{BD}{\sin {150^\circ}} = 2R \Rightarrow \dfrac{x+y}{\frac 12} = 2R \Rightarrow x+y = R$ elde edilir. $AC$ çap olduğu için $z = 2x+ 2y \Rightarrow y = \dfrac{z-2x}2 $ elde edilir.

[geo]

$AC$'nin çap olduğu gerçeğini yakalayamadığımızı varsayarsak:
$\angle BAC = \angle BDC = \alpha $ olsun.
$\triangle BCD$'de Sinüs teoreminden
$$\dfrac{BD}{\sin {150^\circ}} = \dfrac{BC}{\sin {\alpha}} \Rightarrow \dfrac{x+y}{\frac 12} = \dfrac{BC}{\sin {\alpha}} \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{BC}{2x+2y}$$
Aynı zamanda $\triangle ABC$ dik üçgeninde $\sin \alpha = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{BC}{z}$ olduğu için, $z = 2x+ 2y \Rightarrow y = \dfrac{z-2x}2 $ elde edilir.