İlk eşitlik
$$f( f(y) + x^2 + 1) + 2x = y + \left ( f(x+1) \right )^2 \quad...(1)$$
olsun. $f$ fonksiyonun birebir ve örten olduğu barizdir. $f(0)=a, f(1)=b$ olsun. Eşitlikte $x \to 0$ koyarsak $\forall y \in \mathbf{R} $ için
$$y=f(f(y)+1)-b^2 \quad...(2)$$
idir. $...(2)$ yi $...(1)$ de yerine koyalım.
$$f\big(f(y)+1+x^2\big)+2x+b^2=f\big(f(y)+1\big)+f^2(x+1)\quad...(3)$$
olur. $f$ in birebirliği biliyoruz o halde;
$$f(x^2+y)+2x+b^2=f(y)+f^2(x+1) \quad...(4)$$
elde edilir. Burada yerine $y \to 0$ koyarsak;
$$f^2(x+1)=f(x^2)+2x+b^2-a \quad...(5)$$
elde edilir. Bunu $...(4)$ te yerine koyarsak;
$$f(x^2+y)=f(x^2)+f(y)-a$$
elde edilir. Buradan da $\forall x,\,y \in \mathbb R,\, x \ge 0$ için;
$$f(x+y)=f(x)+f(y)-a\quad...(6)$$
elde edilir. Bu eşitliğin $x<0$ için de sağladığını kolayca görebiliriz. O yüzden;
$$f(x+y)=f(x)+f(y)-a\quad...(7)$$
elde edilir. $...(7)$ de $x=y=1$ koyarsak $f(2)=2b-a$ buluruz. $...(5)$ te $x=1$ koyarsak $f^2(2)=b^2+b+2-a$ elde ederiz. O yüzden;
$$(2b-a)^2=b^2+b+2-a \quad...( 8 )$$
elde edilir. $...(5)$ te $x=-1$ koyarsak;
$$a^2+a=b^2+b-2\quad...(9)$$
elde edilir. $...( 8 )$ ve $...(9)$ u da çözeriz ve buradan $a=0, b=1$ gelir. $...(5)$ ve $...(7)$ yeniden düzenlenirse;
$$f^2(x+1)=f(x^2)+2x+1\quad...(10)$$
$$f(x+y)=f(x)+f(y) \quad...(11)$$
elde edilir. $...(10)$ u $f(1)=1$ olduğunu kullanarak $...(5)$ te yerine koyarsak;
$$f(x^2)=f^2(x)+2\cdot f(x)-2x \quad...(12)$$
elde edilir. Burada $x \to -x$ koyarsak eşitlik bozulmaz ve $f$ in çift fonksiyon olduğunu bilebiliriz. O yüzden ayrıca;
$$f(x^2)=f^2(x)+2x-2\cdot f(x)\quad...(13)$$
olduğunu da biliyoruz. $...(12)$ ve $...(13)$ ten tüm $x$ gerçel sayıları için $f(x)=x$ elde edilir. İspat biter. (kaynak: $\text{AoPS}$)
