Tübitak Lise Takım Seçme 2014 Soru 8

[geo]

$(a_n)_{n=1}^{\infty}$ dizisi, $a_1 = -5$, $a_2 = -6$ ve $n \geq 2$ için, $$a_{n+1} = a_n + (a_1 + 1)(2a_2 + 1)(3a_3 + 1) \cdots ((n-1)a_{n-1}+1)((n^2+n)a_n + 2n + 1)$$ koşullarını sağlasın. Bir $n$ pozitif tam sayısı için, $p$ asal sayısı $na_n + 1$ tam sayısını bölüyorsa, $m^2 \equiv 5 \pmod p$ denkliğini sağlayan bir $m$ tam sayısı bulunduğunu kanıtlayınız.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

$b_n=na_n+1$ ve $B_n=\prod_{i=1}^nb_i$ olsun. $2 \mid B_1 \mid B_n$ olduğu açıktır. Ayrıca $n>1$ için $a_{n+1}=a_n\pmod 2$ olduğundan $n>1$ ise $2 \mid a_n$ olur. Eşitliğimizi düzenlersek;
$$a_{n+1}=a_n+B_{n-1}((n+1)b_n+n)=a_n+(n+1)B_n+nB_{n-1}$$
ve bunu $(n+1)$ le çarpıp $1$ eklersek;
$$b_{n+1}=(n+1)a_n+1+(n+1)^2B_n+(n^2+n)B_{n-1}$$
elde ederiz. Bunu da $B_n$ le çarparsak;
$$B_{n+1}=(n+1)^2B_n^2+(n^2+n)B_nB_{n-1}+(n+1)a_nB_n+B_n
\\=[(n+1)B_n+\frac n2B_{n-1}+\frac{a_n}2]^2+B_n-\frac14(nB_{n-1}+a_n)^2$$
elde ederiz. Buradan da;
$$ \begin{array}{lcl}
B_{n+1}-\frac14((n+1)B_n+a_{n+1})^2 &=& B_{n+1}-\frac14(2(n+1)B_n+a_n+nB_{n-1})^2 \\
&=& B_{n+1}-[(n+1)B_n+\frac n2B_{n-1}+\frac{a_n}2]^2
\\ &=&B_n-\frac14(nB_{n-1}+a_n)^2
\end{array}$$
elde edilir. Buradan $B_n-\frac14(nB_{n-1}+a_n)^2=\cdots=B_2-\frac14(2B_1+a_2)^2=-5,\forall n>1$ olduğunu biliyoruz. Bu kısaca $B_n$ ifadesini $x \in \mathbf{Z}$ için $x^2-5$ şeklinde ifade edebildiğimizi gösterir. $na_n+1=b_n \mid B_n$ olduğundan dolayı ispat biter.