$3^n-1 \equiv 0 \pmod{2^{200}}$ modüler aritmetik

[ERhan ERdoğan]

$3^n-1 \equiv 0 \pmod{2^{200}}$ denkliğini sağlayan en küçük $n$ pozitif tam sayısı nedir?

[Egemen]

(Egemen Erbayat)

$3^n-1 \equiv 0 \pmod{2^{3}}$ ise $n=2k$ formunda olmalıdır.($k \in \mathbf N-\{0\}$), $n$ yerine $2k$ yazalım.
$3^{2k}-1 \equiv 0 \pmod{2^{3}}$

$3^{2k}-1 \equiv 0 \pmod{2^{4}}$ olması için $k=2l$ formunda olmalıdır.($l \in \mathbf N-\{0\}$), $k$ yerine $2l$ yazalım.
$3^{2^{2}  l}-1 \equiv 0 \pmod{2^{4}}$

$3^{2^{2}  l}-1 \equiv 0 \pmod{2^{5}}$ olması için $l=2m$ formunda olmalıdır.($m \in \mathbf N-\{0\}$), $l$ yerine $2m$ yazalım.
$3^{2^{3}  m}-1 \equiv 0 \pmod{2^{5}}$

Genelleyebiliriz.
Genelleme: $t \in \mathbf N-\{0\}$ olmak üzere $3^{2^{j}  t}-1 \equiv 0 \pmod{2^{j+2}}$
Sorumuzda $j+2=200$ olduğu verilmişti. $3^n=3^{2^{198} t}$ $t$'nin en küçük değeri 1 olduğu için $n$'in de en küçük değeri $2^{198}$'dır.