Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

$f(x) = \dfrac{x^{5}}{5x^{4}-10x^{3}+10x^{2}-5x+1}$  ve  $1 \leq  i \leq  2009$  için $x_{i}=\dfrac{i}{2009}$ ise

$f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{2009})$ toplamı kaçtır?


$
\textbf{a)}\ 1000
\qquad\textbf{b)}\ 1005
\qquad\textbf{c)}\ 1010
\qquad\textbf{d)}\ 2009
\qquad\textbf{e)}\ 2010
$

[Lokman Gökçe]

Çözüm: $f(x) = \dfrac{x^{5}}{5x^{4}-10x^{3}+10x^{2}-5x+1} = \dfrac{x^{5}}{- x^ 5 + 5x^{4}-10x^{3}+10x^{2}-5x+1 + x^5}= \dfrac{x^{5}}{x^5 - (x-1)^5}$ yazılabilir. Bu durumda $f(x) + f(1-x) = \dfrac{x^{5}  - (x-1)^5 }{x^5 - (x-1)^5} = 1 $ olup $1 \leq i \leq 2008$ için $f(x_i) + f(x_{2009-i}) = 1 $ dir. $ f(x_{2009}) = f(1) = 1$ dir. Dolayısıyla $f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{2009}) = \dfrac {2008}{2} + 1 = 1005$ elde edilir.