Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 28

[ERhan ERdoğan]

Tüm tam sayılar kümesi, farkları asal bir sayıya eşit olan herhangi iki tam sayı aynı alt kümeye düşmeyecek biçimde, $n$ alt kümeye ayrılabiliyorsa, $n$ en az kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 5
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[SERDARKORKMAZ]

... -7,-3,1,5,9...
...-6,-2,2,6,10...
...-5,-1,3,7,11...
...-4,0,4,8,12...       4  alt kümeye ayırabiliriz

[Eray]

Yanıt: $\boxed{C}$

En az $4$ alt kümeye ayırmak zorunda olduğumuzu da gösterelim.

$0,2,5,7$ elemanlarından herhangi ikisinin farkı asal olduğundan bu $4$ eleman farklı alt kümelerde olmak zorundadır. Dolayısıyla ayrımdaki alt küme sayısı en az $4$ olmak zorundadır.

Örnek:
$S_1 = \{ x : x = 4k + 1, k \in \mathbb Z  \}$
$S_2 = \{ x : x = 4k + 2, k \in \mathbb Z  \}$
$S_3 = \{ x : x = 4k + 3, k \in \mathbb Z  \}$
$S_4 = \{ x : x = 4k, k \in \mathbb Z  \}$