Çemberde Açı {çözüldü}

[ERhan ERdoğan]

$k_{1}$ ve $k_{2}$ çemberleri iki farklı $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyor. İki çemberin ortak teğeti $t$ , $k_{1}$  ve  $k_{2}$ ye sırasıyla $M$ ve $N$ noktalarında teğettir. $|MN|=2|MA|$ ve $t$ ile $MA$ doğrusu dik olduğuna göre, $NMB$ açısı kaç derecedir?

[Lokman Gökçe]

$k_{1}$,  $k_{2}$ çemberlerinin merkezleri $O_{1}$,  $O_{1}$ olsun. $k_{1}$ çemberinin çapı $[MA]$ olur. $|AO_1|=|MO_1|=1$ dersek $|MN|=4$ olur. $A$ noktasından $[NO_2]$ ye çizilen dikme ayağı $H$ olsun. $|AH|=4$ tür. $|AO_2|=r$ dersek $|O_2H|=r-2$ olur. $AHO_2$ dik üçgeninde $r^2=4^2+(r-2)^2$ olup $r=5$ bulunur. $O_1AO_2B$ deltoidinde $ \cos(O_1AO_2)=- \dfrac{3}{5}$ olduğunu görmek kolaydır. Bu değeri kullanarak kosinüs teoreminden $|O_1O_2|^2=1^2+5^2+2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot \dfrac{3}{5} $ olup $|O_1O_2|=4\sqrt2$ elde edilir. $O_1AO_2$ üçgeninde tekrar kosinüs teoremi uygulanırsa $m(O_1O_2A) = 45^o$ bulunur. Dolayısıyla $m(NMB) = 45^o$ dir.