Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2006 Soru 1

[geo]

İçteğet çemberinin merkezi $I$ olan bir $ABC$ üçgeninin içinde, $$m(\widehat{PBA}) + m(\widehat{PCA}) = m(\widehat{PBC}) + m(\widehat{PCB})$$ olacak şekilde bir $P$ noktası seçiliyor. $ |AP| \geq |AI|$ olduğunu ve eşitliğin ancak ve ancak $P = I$ olması halinde sağlanacağını gösteriniz.

[geo]

$\angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB = \dfrac{\angle B + \angle C}2$ olduğu için $\angle BIC = \angle BPC$ dir.

Yani $P$ noktalarının geometrik yeri $(BIC)$ çemberinin üçgen içerisinde kalan kısmıdır.
$AI$ doğrusu $(ABC)$ yi $M$ noktasında kessin. Basit açı hesaplarıyla $\angle BIM = \angle IBM$ ve $\angle MIC = \angle ICM$ olduğu görülür.
Bu durumda $M$ noktası $(BIC)$ nin merkezidir.
$A$ noktasının $(BIC)$ çemberine en yakın olduğu nokta $AM$ ile çemberin kesiştiği nokta, yani $I$ noktasıdır. $I$ noktası hariç noktaların $A$ ya uzaklığı $AI$ dan büyüktür. Bu durumu üçgen eşitsizliğinden de görebiliriz: $$AP + PM \geq AM = AI + IM \Rightarrow AP \geq AI.$$

[Lokman Gökçe]

Burada sorunun video çözümünü ekledim.