$s(A)\cdot s(B) \geq k\cdot s(A\cap B)$

[geo]

$a,b\leq 2014$ pozitif tam sayıları için $A=\{x: x \in \mathbb N, 1 \leq x \leq a \leq 2014\}$ ve $B=\{x: x \in \mathbb N, 1 \leq b \leq x \leq 2014\}$ şeklinde tanımlanıyor. $a$ ve $b$ nasıl seçilirse seçilsin $s(A)\cdot s(B) \geq k\cdot s(A\cap B)$ eşitsizliği sağlanıyorsa $k$ en çok kaç olabilir?

[Lokman Gökçe]

$b>a$ durumunda $s(A\cap B) = 0$ olduğundan her $k$ için $s(A)\cdot s(B) \geq k\cdot s(A\cap B)$ eşitsizliği sağlanacağından incelenecek bir şey yoktur. $b \leq a $ durumuna bakalım. Bu halde $s(A) = a$, $s(B) = 2015 - b$ ve $s(A\cap B) = a - b + 1$ dir. $s(A)\cdot s(B) \geq k\cdot s(A\cap B)$ eşitsizliği $\dfrac{a(2015 - b)}{a-b+1} \geq k$ şekline dönüşür. $k$ nın en büyük değerini bulmak demek aslında $ T = \dfrac{a(2015 - b)}{a-b+1}$  ifadesinin minimum değerini bulmak demektir. $a=2014$ için $T$ ifadesi minimum değerini alır ve bu halde $b$ den bağımsız olarak $T=2014$ olduğunu kolayca görebiliriz.

$T$ ifadesinin min değerini $a=2014$ de aldığını ''müphem'' bulan okuyucular için bu kısmı biraz daha açabiliriz.

$T$ de $b=1$ yazarsak $T=\dfrac{2014a}{a}=2014$ sabit değeri elde edilir.
$T$ de $b=2$ yazarsak $T(a)=\dfrac{2013a}{a-1}=2013+\dfrac{2013}{a-1}$ fonksiyonu elde edilir. $T$ nin min. olması için $\dfrac{2013}{a-1}$ min olmalıdır. Buna göre $a=2014$ durumunda $T_{min} = 2013 + 1 = 2014$ elde edilir.
$T$ de $b=2,3, \dots $ değerlerini de yazarsak benzer işlemlerle $T_{min}=2014$ bulunur.

Sonuç olarak $k$ nın en büyük değeri $2014$ tür.