Dik dörtyüzlü sorusu {çözüldü}

[Legendary]

$OABC$ döryüzlüsünde $s(AOB)=s(BOC)=s(AOC)=90^{\circ}$ ise

$a-$  $O$ noktasından $ABC$ üçgenine inen dikin $ABC$ üçgenini kestiği nokta, üçgenin diklik merkezidir.İspatlayınız

$b-$  $A(ABC)=S, A(AOC)=T, A(AOB)=M, A(BOC)=N$ ise $S^{2}=T^{2}+M^{2}+N^{2}$ olduğunu ispatlayınız.

[ERhan ERdoğan]

$1.$  $ABC$ üçgeninin diklik merkezi $H$ olsun. Diklik merkezinin özelliğinden, $|BD|.|DC|=|HD|.|AD|$ dir.

$OBC$ üçgeninde öklit bağıntısından, $|OD|^{2}=|HD|.|AD|$ dir.

Bu iki denklemden, $|OD|^{2}=|HD|.|AD|$ olur bu eşitliğe göre,$AOD$ üçgeni ile $OHD$ üçgeni benzer olup $OH\perp AD$ dir.

$OH$ ile diğer yükseklikler arasında da benzer durumlar söz konusudur bu halde bir düzlemin kesişen iki doğrusuna dik olan doğru, düzlemede dik olacağından, $OH \perp (ABC)$ dir.

$2.$  $N=\dfrac{|OD|.|BC|}{2} \Rightarrow N^{2}=\dfrac{|OD|^{2}.|BC|^{2}}{4}=\dfrac{|HD|.|AD|.|BC|^{2}}{4}=A(ABC).A(HBC)=S.A(HBC)$

ve benzer şekilde,

$M^{2}=A(ABC).A(HAB)=S.A(HAB)  ,   T^{2}=A(ABC).A(HAC)=S.A(HAC)$ olur.

Bulunan denklemleri toplarsak,

$M^{2}+N^{2}+T^{2}=S.[A(HAB)+A(HBC)+A(HAC)]=S.S=S^{2}$

bulunur.