Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

Katsayılarının her biri $1$ veya $-1$ ve tüm kökleri gerçel sayılar olan bir polinomun derecesi en çok kaç olabilir?

$
\textbf{a)}\ 5
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 2
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Aradığımız en büyük dereceli $P(x)$ polinomun baş katsayısının $1$ olduğunu kabul edebiliriz. $P(x)=x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_1x + a_0$ diyelim. Her $i=0,1,\dots, n-1$ için $a_i \in \{-1,1 \}$ dir. $P(x)=0$ polinomunun tüm kökleri gerçel sayı verildiğinden bu kökleri $x_1, x_2, \dots , x_n$ ile gösterelim. Vieta teoreminden

Kökler çarpımı $x_1 \cdot x_2  \cdots  x_n = 1 $ veya $-1$

Kökler toplamı $x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1 $ veya $-1$,

Köklerin ikişerli çarpımlarının toplamı $x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots x_{n-1}x_n = 1$ veya $-1$ dir. Ancak $x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots x_{n-1}x_n = -1$ olması halinde

$$(x_1 + x_2 + \cdots + x_n )^2=(x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 ) + 2(x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots x_{n-1}x_n)$$

tam kare özdeşliğinden $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = -1$ çelişkisi elde edilir. O halde $x_1x_2 + x_1x_3 + \cdots x_{n-1}x_n = 1$ olup

$$x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 3$$

elde edilir. Aritmetik geometrik ortalama eşitsizliğinden $\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n} \geq \sqrt[n]{x_1^2 \cdot x_2^2  \cdots  x_n^2}$ dir. Böylece $n\leq 3$ bulunur.

$n=3$ durumuna uygun bir polinom örneği vermeliyiz: $P(x)=(x-1)^2(x+1)= x^2-x^2-x+1$ polinomunun tüm kökleri gerçel sayıdır.