Tübitak Lise 1. Aşama 2010 Soru 34

[ERhan ERdoğan]

Aşağıdaki sayılardan hangisi $2^{2^{2010}}+2^{2^{2009}}+1$ sayısını böler?

$
\textbf{a)}\ 19
\qquad\textbf{b)}\ 17
\qquad\textbf{c)}\ 13
\qquad\textbf{d)}\ 11
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{C}$

$2^{2^{2009}}=t$  ise $2^{2^{2010}}=t^2$ dir. Buna göre verilen ifade $t^2+t+1$ biçimindedir. $t^3-1 = (t-1)(t^2+t+1)$ olduğundan öyle bir $p$ sayısı için $p \mid t^2+t+1 \Rightarrow p \mid t^3-1$ dir.

fermat teoremine göre; $(2,13)=1 \Rightarrow 2^{12} \equiv 1\pmod{13}$ olduğundan $t^3-1 = \left (2^{2^{2009}} \right )^3-1 = \left (2^{12}\right)^{2^{2007}}-1 \equiv 0 \pmod{13}$ olur.