Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 01

[alpercay]

Yüksekliklerinin uzunlukları $3$, $4$ ve $6$ birim olan bir üçgenin çevre uzunluğu kaç birimdir?

$
\textbf{a)}\ 12\sqrt{\dfrac{3}{5}}
\qquad\textbf{b)}\ 16\sqrt{\dfrac{3}{5}}
\qquad\textbf{c)}\ 20\sqrt{\dfrac{3}{5}}
\qquad\textbf{d)}\ 24\sqrt{\dfrac{3}{5}}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[alfıeoktay]

Yanıt: $\boxed{D}$

Yükseklikleri $3,4,6$ olan üçgenin kenar uzunlukları $4k, 3k, 2k$ olsun. $u=\dfrac{(4k+3k+2k)}{2}$ dir.

$A(ABC)=\sqrt{ u(u-a)(u-b)(u-c)}$ formulunu kullanırsak $A(ABC)=3k^{2}\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ yuksekliklerden yararlanırsak $A(ABC)=6k$ dır.
İkisinin eşitliğinden $k=\dfrac{8}{\sqrt{15}}$, $Ç(ABC)=9k=\dfrac{72 \sqrt{15}}{15}$ dir. Sadeleştirirsek $\dfrac{24\sqrt{15}}{5}$, düzenlenirse $24\sqrt{\dfrac{15}{25}}=24\sqrt{\dfrac{3}{5}}$.