Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 13

[ERhan ERdoğan]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninin $A,B,C$ köşelerine ait yüksekliklerin ayakları sırasıyla, $D,E,F$ dir. $\left | DF \right |=3,\left | FE \right |=4,\left | DE \right |=5$ ise $DE$ ye teğet olan $C$ merkezli çemberin yarıçapı nedir?

$
\textbf{a)}\ 7
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ 3
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{B}$

$\angle EDC = \angle BAC = \angle FDB$ olduğu için, $\triangle DEF$ de , $DC$ doğrusu, $\angle D$ açısına ait dış açıortaydır. Benzer şekilde, $EC$ de $\triangle DEF$ de $\angle E$ ye ait dış ortaydır. Bu durumda, $C$ notkası, $\triangle DEF$ de $D$ ye karşı dış merkezdir. $C$ den $DF$, $DE$, $EF$ doğrularına inilen dikmelerin ayakları sırasıyla, $X$, $Y$, $Z$ olsun. $DX=DY$, $EY=EZ$, $FZ=FX$ ve $FX + FZ=3+4+5=12$ olduğu için $FX=6$ dır. $\angle CFX = 45^\circ$ olduğu için de $XC=FX=6$ dır.