Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 27

[ERhan ERdoğan]

$\left ( a_{n} \right )_{n=1 }^{\infty }$ gerçel sayı dizisi $a_{1}=1 , a_{3}=4$ ve her $n\geqslant 2$ için $a_{n+1}+a_{n-1}=2a_{n}+1$ koşulnu sağlıyorsa $a_{2011}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 2^{2010}
\qquad\textbf{b)}\ 2021056
\qquad\textbf{c)}\ 1010528
\qquad\textbf{d)}\ 3016
\qquad\textbf{e)}\ 2011
$

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)
 Yanıt: $\boxed{B}$

$a_{3}-2a_{2}+a_{1}=1$                                           
$a_{4}-2a_{3}+a_{2}=1$
$a_{5}-2a_{4}+a_{3}=1$
   $.$       $.$        $.$
   $.$       $.$        $.$
$a_{n+1}-2a_{n}+a_{n-1}=1$

Taraf tarafa toplayınca şu eşitlik elde edilir:
$\Longrightarrow a_{n+1}-a_{n}=(n-1)+a_{2}-a_{1}$     Aynı zamanda $a_{3}-2a_{2}+a_{1}=1$ eşitliğinde $a_{3}$ ve $a_{1}$  bilindiği için yerine yazarak $a_{2}=2$ bulunur. O zaman eşitlik şu hale gelir: $a_{n+1}-a_{n}=(n-1)+2-1=n$ .  Şimdi bu eşitlikten yararlanarak başka eşitlikler yazalım.

$a_{2}-a_{1}=1$
$a_{3}-a_{2}=2$
$a_{4}-a_{3}=3$
  $.$       $.$       
  $.$       $.$
$a_{2011}-a_{2010}=2010$

Taraf tarafa toplayalım:
$\Longrightarrow a_{2011}-a_{1}=(1+2+3+\cdots +2010)= \dfrac{2010.2011}{2}=2021055$
$a_{1}=1$ olduğu için $a_{2011}=2021056$ bulunur.