Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 35

[ERhan ERdoğan]

$x^{3}+y^{4}=x^{2}y$ eşitliğini sağlayan tüm $\left(x,y \right)$ pozitif gerçel sayı ikililerinde $x$ in aldığı en büyük değer $A$ ve $y$ nin aldığı en büyük değer $B$ ise , $A/B$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{2}{3}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{512}{729}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{729}{1024}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{3}{4}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac{243}{256}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$AO \geq GO$ dan, $$\begin{array}{rcl}
\dfrac{\dfrac {x^3}3 + \dfrac {x^3}3 + \dfrac {x^3}3 + y^4}{4} &\geq& \sqrt[4]{\dfrac{x^9 \cdot y^4}{3^3}}\\
\left (\dfrac{x^2y}{4} \right)^4 &\geq& \dfrac{x^9\cdot y^4}{3^3} \\
A = \dfrac{3^3}{4^4} &\geq & x
\end{array}$$
$AO \geq GO$ dan, $$\begin{array}{rcl}
\dfrac{\dfrac {x^3}2 + \dfrac {x^3}2 + y^4}{3} &\geq& \sqrt[3]{\dfrac{x^6 \cdot y^4}{4}}\\
\left (\dfrac{x^2y}{3} \right)^3 &\geq& \dfrac{x^6\cdot y^4}{4} \\
B = \dfrac{4}{3^3} &\geq & y
\end{array}$$
$A/B = \dfrac{3^3 \cdot 3^3}{4^4 \cdot 4} = \dfrac{729}{1024}$