Tübitak Lise 1. Aşama 2012 Soru 15

[ERhan ERdoğan]

$a$ gerçel sayısının, $x^{4}+8x^{3}+18x^{2}+8x+a=0$ denkleminin dört farklı gerçel kökü olmasını sağlayan tüm değerlerinin kümesi nedir?

$
\textbf{a)}\ \left ( -9,2 \right )
\qquad\textbf{b)}\ \left ( -9,0 \right )
\qquad\textbf{c)}\ \left [ -9,0 \right )
\qquad\textbf{d)}\ \left [ -8,1 \right )
\qquad\textbf{e)}\ \left ( -8,1 \right )
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$x^4+8x^3+18x^2+8x + 1 = 1-a $ ve $(x^2+4x+1)^2 = 1-a$ elde edilir. $f(x)=(x^2+4x+1)^2$ eğrisi ile $y=1-a$ doğrusunun grafiğini çizeceğiz.

$f'(x) = 2(x^2+4x+1)(2x+4) = 0 \Rightarrow $ $x=-2-\sqrt 3$, $x=-2$, $x=-2+\sqrt 3$.
$x=-2$ noktası, lokal maksimum; $x=-2\pm \sqrt 3$ noktaları da global minimumdur.
$y=f(x)$ eğrisi ile $y<0$ doğruları kesişmez.
$y=0$ doğrusu $2$ noktada kesişir.
$0<y<9$ doğruları $4$ noktada kesişir.
$y=9$ doğrusu, $3$ noktada kesişir.
$y>9$ doğruları $2$ noktada kesişir.
Bu durumda, $0<y=1-a<9$ dan, $-8<a<1$ elde edilir.