Karmaşık Sayılar {Çözüldü}

[alpercay]

z₁,z₂,z₃  karmaşık sayıları ,düzlemde bir çember üzerinde ve  z₁+z₂+z₃= 0 koşulunu  sağlıyorlarsa   z₁,z₂,z₃     sayılarının bir eşkenar üçgen üzerinde olduğunu gösteriniz.
(Kyn:Matematik Lisansüstü  Giriş Sınavı   Soruları(Analiz),Odtü Mat.Vakfı)

[Lokman Gökçe]

z₁ = 1, z₂ = i, z₃ = -1 - i için problemin hipotezleri sağlanmakta fakat z₁, z₂, z₃ noktaları eşkenar üçgenin köşeleri olmamakta. sorudaki çemberi, merkezil çember alarak çözelim.kastedilen çember merkezi orjinde olan çemberdir. kolay gelsin...

[fermat]

Burada Iz_1-z_2I^2 = Iz_2-z_3I^2 =  Iz_1-z_3I^2  olduğunu göstermek esas amacımız. Bakalım öyle mi(?):
Iz_1-z_2I^2  bunu z_2 yerine -z_1-z_3 yazarak açalım ve ifademiz A ya eşit olsun.
Iz_2-z_3I^2 bunu da açtığımızda yine z_2 yerine yukarıdaki eşitliği yazdığımzda yine bu ifade de A ya eşit olur.
Bu nedenle ABC üçgenimizin köşeleri z_1, z_2, z_3 olduğunu düşünelim. AB = BC olduğunun bulduk. Bakalım diğer eşitliği sağlayatacak mıyız?
m(ACB) = m(BAC) = a olur. Biz AB yi a kadar döndürelim.
 Iz_1-z_2I.e^(iarctana)=Iz_1-z_3I ...(1)
 Iz_1-z_3I.e^(iarctana)=Iz_2-z_3I ...(2)
e^üssüleri bir kenara çektiğimizde
Iz_1-z_3I^2 = Iz_2-z_3I.Iz_1-z_2I= Iz_2-z_3I^2 =Iz_1-z_2I^2
ispatımız tamamlanmış olur.



Bir soru da benden:z1,z2,z3,z4  karmaşık sayıları ,düzlemde bir çember üzerinde ve  Iz1I=Iz2I=Iz3I=1 koşulunu  sağlıyorlarsa   z1,z2,z3,z4     sayılarının bir dikdörtgenin köşeleri  olduğunu gösteriniz.
(kaynak: Kompleks Fonksiyonlar Teorisi/Turgut Başkan)

Darij (...)

yönetici notu: alt indisleri ve üsleri metin editörünüzdeki sup ve sub butonları ile rahatça yazabilirsiniz.kolay gelsin.iyi çalışmalar

[Lokman Gökçe]

soru bu şekliyle yanlıştır. zira |z₁| = |z₂| = |z₃| = 1 dir fakat köşeleri z₁z₂z₃z₄ olan dörtgen dikdörtgen olmayabilir.